Question

11．已知函數(shù)g（x）=x³+x，若g（3a-2）+g（a+4）＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式分析可得函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，并且是增函數(shù)；進(jìn)而將g（3a-2）+g（a+4）＞0變形為g（3a-2）＞-g（a+4）=g（-a-4），由函數(shù)的單調(diào)性可將其轉(zhuǎn)化為3a-2＞-a-4，解可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，對(duì)于函數(shù)g（x）=x³+x，有g(shù)（-x）=-x³-x=-g（x），即函數(shù)g（x）為奇函數(shù)；
而g（x）=x³+x，g′（x）=2x²+1，則g′（x）≥0恒成立，即函數(shù)g（x）為增函數(shù)；
若g（3a-2）+g（a+4）＞0，即g（3a-2）＞-g（a+4）=g（-a-4），
又由函數(shù)g（x）為增函數(shù)，則可以轉(zhuǎn)化為3a-2＞-a-4，
解可得a＞-$\frac{1}{2}$；
即a的取值范圍是a＞-$\frac{1}{2}$；
故答案為：a＞-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，關(guān)鍵是判斷并運(yùn)用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性．