Question

14．已知函數(shù)f（x）=（2x²-x-1）e^x，則方程e[f（x）]²+tf（x）-9$\sqrt{e}$=0（t∈R）的根的個數(shù)為（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）的大致圖象，分析關(guān)于f（x）這一整體的二次方程根的情況，依據(jù)根的情況分類討論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=（2x²-x-1）e^x，∴f′（x）=（2x-1）（x+2）e^x，
且f（-2）=$\frac{9}{{e}^{2}}$，f（$\frac{1}{2}$）=-$\sqrt{e}$，
f（x）的大致圖象如圖，

令t=f（x），
設(shè)方程e[f（x）]²+tf（x）-9$\sqrt{e}$=0的兩根為m₁，m₂，
則m₁m₂=-$\frac{9\sqrt{e}}{e}$=f（-2）f（$\frac{1}{2}$），
若m₁=$\frac{9}{{e}^{2}}$，m₂=-$\sqrt{e}$，有三根；
若0＜m₁＜$\frac{9}{{e}^{2}}$有三根，此時m₂＜-$\sqrt{e}$無根，也有三根，
當(dāng)m₁＞$\frac{9}{{e}^{2}}$有1根，此時-$\sqrt{e}$＜m₂＜0有兩根，也有三根，
故選：B．

點評 考查利用導(dǎo)函數(shù)分析出的單調(diào)性、極值作簡圖，考查復(fù)合函數(shù)的零點問題．利用換元法簡化方程，考查數(shù)形結(jié)合．作圖、分析根個數(shù)，難度較大，屬于難題．