【題目】設(shè)函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的圖象在處的切線方程;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性,求的取值范圍;
(3)若函數(shù)有且僅有個(gè)不同的零點(diǎn),且,,求證:.
【答案】(1);(2);(3)證明見解析
【解析】
(1)根據(jù),對(duì)函數(shù)求導(dǎo),求出,,進(jìn)而可得切線方程;
(2)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),得到,分別討論函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,兩種情況,即可求出參數(shù)范圍;
(3)先由題意,得到有且僅有兩個(gè)不等于的不同零點(diǎn),設(shè),對(duì)函數(shù)求導(dǎo),得出的單調(diào)性,推出有且僅有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,且一個(gè)根小于,一個(gè)根大于,再由題意,得到,為的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,推出,設(shè),,,對(duì)其求導(dǎo),研究其單調(diào)性,進(jìn)而可得出結(jié)果.
解:(1)當(dāng)時(shí),,,,,
故的圖象在處的切線方程為,即.
(2)因?yàn)?/span>,
①若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則恒成立,得恒成立,
∵,∴,所以;
②若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則恒成立,得恒成立,
∵,∴,所以;
綜上,的取值范圍為.
(3)函數(shù)的零點(diǎn)即為方程的實(shí)數(shù)根,
故或,由,得,
∴有且僅有兩個(gè)不等于的不同零點(diǎn),
由,得,設(shè),
則,由,得;由,得.
故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
故有且僅有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,且一個(gè)根小于,一個(gè)根大于,
∵有且僅有個(gè)不同的零點(diǎn),,
∴,為的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,
∴,,兩式相減,得,∴,
兩式相加,得,
設(shè),由且,得,,
設(shè),,
則,設(shè),,則,
設(shè),,則在上恒成立,
∴在上單調(diào)遞增,∴在上恒成立,
則在上恒成立,∴在上單調(diào)遞增,
∴在上恒成立,則在上恒成立,∴在上單調(diào)遞增,
所以,,,即.
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【題目】如圖1是淋浴房示意圖,它的底座是由正方形截去一角得到,這一角是一個(gè)與正方形兩鄰邊相切的圓的圓。ㄈ鐖D2).現(xiàn)已知正方形的邊長(zhǎng)是1米,設(shè)該底座的面積為S平方米,周長(zhǎng)為l米(周長(zhǎng)是指圖2中實(shí)線部分),圓的半徑為r米.設(shè)計(jì)的理想要求是面積S盡可能大,周長(zhǎng)l盡可能小,但顯然S、l都是關(guān)于r的減函數(shù),于是設(shè),當(dāng)的值越大,滿意度就越高.試問r為何值時(shí),該淋浴房底座的滿意度最高?(解答時(shí)π以3代入運(yùn)算)
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【題目】作家馬伯庸小說《長(zhǎng)安十二時(shí)辰》中,靖安司通過長(zhǎng)安城內(nèi)的望樓傳遞信息.同名改編電視劇中,望樓傳遞信息的方式有一種如下:如圖所示,在九宮格中,每個(gè)小方格可以在白色和紫色(此處以陰影代表紫色)之間變換,從而一共可以有512種不同的顏色組合,即代表512種不同的信息.現(xiàn)要求每一行,每一列上至多有一個(gè)紫色小方格(如圖所示即滿足要求).則一共可以傳遞______種信息.(用數(shù)字作答)
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【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.
(1)求C1的極坐標(biāo)方程;
(2)若C1與曲線C2:ρ=2sinθ交于A,B兩點(diǎn),求|OA||OB|的值.
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【題目】已知橢圓:的離心率為,焦距為.
(1)求的方程;
(2)若斜率為的直線與橢圓交于,兩點(diǎn)(點(diǎn),均在第一象限),為坐標(biāo)原點(diǎn).
①證明:直線的斜率依次成等比數(shù)列.
②若與關(guān)于軸對(duì)稱,證明:.
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【題目】火箭少女101的新曲《卡路里》受到了廣大聽眾的追捧,歌詞積極向上的體現(xiàn)了人們對(duì)于健康以及完美身材的渴望.據(jù)有關(guān)數(shù)據(jù)顯示,成年男子的體脂率在14%-25%之間.幾年前小王重度肥胖,在專業(yè)健身訓(xùn)練后,身材不僅恢復(fù)正常,且走上美體路線.通過整理得到如下數(shù)據(jù)及散點(diǎn)圖.
健身年數(shù) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
體脂率(有分比) | 32 | 20 | 12 | 8 | 6.4 | 4.4 |
3.4 | 3 | 2.5 | 2.1 | 1.9 | 1.5 |
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,與哪一個(gè)模型更適宜作為體脂率關(guān)于健身年數(shù)的回歸方程模型(給出選擇即可)
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果與題目中所給數(shù)據(jù),建立與的回歸方程.(保留一位小數(shù))
(3)再堅(jiān)持3年,體脂率可達(dá)到多少.
參考公式:
參考數(shù)據(jù):
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【題目】如圖,在三梭柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,E,F分別為AB,A1B1的中點(diǎn).
(1)求證:AF∥平面B1CE;
(2)若A1B1⊥,求證:平面B1CE⊥平面ABC.
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【題目】在10件產(chǎn)品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品。從這10件產(chǎn)品中任取3件,求:
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(1)記全年所付運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi)之和為元,求關(guān)于的函數(shù).
(2)若要使全年用于支付運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi)的資金最少,則每批應(yīng)購(gòu)入電腦多少臺(tái)?
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