Question

設(shè)函數(shù)f（x）=1-|2x-3|．
（I）求不等式f（x）≥3x+l的解集；
（II）若不等式f（x）-mx≥0的解集非空，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）不等式f（x）≥3x+l，即|2x-3|+3x≤0，分別求得

x≥ 3 2 2x-3+3x≤0

  和

x ＜ 3 2 3-2x+3x≤0

 的解集，取并集，即得所求．
（II）畫(huà)出f（x）=1-|2x-3|和y=mx的圖象，過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)y=mx過(guò)點(diǎn)A時(shí)，m=

2

3

．當(dāng)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)y=mx與AC平行時(shí)，m=2，由此求得不等式f（x）-mx≥0的解集非空時(shí)，m的取值范圍．

解答：解：（I）不等式即|2x-3|+3x≤0，
∴

x≥ 3 2 2x-3+3x≤0

，或 

x ＜ 3 2 3-2x+3x≤0

．
即

x≥ 3 2 x≤ 3 5

 或

x ＜ 3 2 x≤ -3

，故不等式的解集為[x|x≤-3}．
（II）f（x）=1-|2x-3|=

4-2x ， x≥ 3 2 2x-2 ， x＜ 3 2

．由單調(diào)性可得f（x）的最大值點(diǎn)為A（

3

2

，1），
過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)y=mx過(guò)點(diǎn)A時(shí)，m=

2

3

．當(dāng)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)y=mx與AC平行時(shí)，m=2，
故當(dāng)

2

3

＜m≤2時(shí)，f（x）的圖象和直線(xiàn)y=mx無(wú)交點(diǎn)．
故當(dāng)不等式f（x）-mx≥0的解集非空時(shí)，m的取值范圍為（-∞，

2

3

]∪（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．