Question

18．已知各項(xiàng)都不相等的等差數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)和為S_n滿足S₆=60，${a}_{6}^{2}$=a₁•a₂₁，則數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n-1}}$}最大值為6．

Answer 1

分析 由題意知a₁=10-2.5d，再結(jié)合a₆²=a₁•a₂₁可得等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為5，公差為2，從而化簡(jiǎn)$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n-1}}$=2•$\frac{n（n+4）}{{2}^{n}}$，可得2•$\frac{n（n+4）}{{2}^{n}}$≥2•$\frac{（n-1）（n+3）}{{2}^{n-1}}$，2•$\frac{n（n+4）}{{2}^{n}}$≥2•$\frac{（n+1）（n+5）}{{2}^{n+1}}$，從而解得數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n-1}}$}最大值．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，
∵S₆=60，
∴6a₁+15d=60，
∴a₁=10-2.5d，
∵a₆²=a₁•a₂₁，
∴（10-2.5d+5d）²=（10-2.5d）•（10-2.5d+20d），
即d=0（舍去）或d=2，
故等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為5，公差為2，
故S_n=5n+$\frac{n（n-1）}{2}$•2=n（n+4），
可得$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n-1}}$=2•$\frac{n（n+4）}{{2}^{n}}$，
由$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n-1}}$≥$\frac{{S}_{n-1}}{{2}^{n-2}}$，$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n-1}}$≥$\frac{{S}_{n+1}}{{2}^{n}}$
可得2•$\frac{n（n+4）}{{2}^{n}}$≥2•$\frac{（n-1）（n+3）}{{2}^{n-1}}$，2•$\frac{n（n+4）}{{2}^{n}}$≥2•$\frac{（n+1）（n+5）}{{2}^{n+1}}$，
解得，$\sqrt{6}$-1≤n≤$\sqrt{6}$，
故n=2，
故數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n-1}}$}項(xiàng)中的最大值為6，
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了最大值的求法與應(yīng)用．