Question

8．設等差數列{a_n}的公差d∈（0，1），且$\frac{{{{sin}^2}{a_8}-{{sin}^2}{a_4}}}{{sin（{a_4}+{a_8}）}}$=1，當n=8時，{a_n}的前n項和S_n取得最小值，則a₁的取值范圍是[-π，-$\frac{7π}{8}$]．

Answer 1

分析 利用三角函數的降冪公式將條件$\frac{{{{sin}^2}{a_8}-{{sin}^2}{a_4}}}{{sin（{a_4}+{a_8}）}}$=1化為$\frac{\frac{1-cos{2a}_{8}}{2}-\frac{1-cos{2a}_{4}}{2}}{sin{（a}_{4}{+a}_{8}）}$=1，利用和差化積公式求得sin（a₈-a₄）=1，從而可求得等差數列{a_n}的公差d，再由數列{a_n}的前n項和S_n取得最小值時$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{8}≤0}\\{{a}_{9}≥0}\end{array}\right.$，即可求得首項a₁的取值范圍．

解答 解：∵{a_n}為等差數列，且$\frac{{{{sin}^2}{a_8}-{{sin}^2}{a_4}}}{{sin（{a_4}+{a_8}）}}$=1，
∴$\frac{\frac{1-cos{2a}_{8}}{2}-\frac{1-cos{2a}_{4}}{2}}{sin{（a}_{4}{+a}_{8}）}$=1，
即$\frac{co{s2a}_{4}-cos{2a}_{8}}{2}$=sin（a₄+a₈），
由和差化積公式得：$\frac{1}{2}$×（-2）sin（a₄+a₈）•sin（a₄-a₈）=sin（a₄+a₈），
∵sin（a₄+a₈）≠0，
∴sin（a₄-a₈）=-1，即sin（a₈-a₄）=1，
∴4d=2kπ+$\frac{π}{2}$∈（0，4），
取k=0，則4d=$\frac{π}{2}$，解得d=$\frac{π}{8}$；
又n=8時，數列{a_n}的前n項和S_n取得最小值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{8}≤0}\\{{a}_{9}≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+7×\frac{π}{8}≤0}\\{{a}_{1}+8×\frac{π}{8}≥0}\end{array}\right.$，
解得-π≤a₁≤-$\frac{7π}{8}$．
故答案為：[-π，-$\frac{7π}{8}$]．

點評 本題考查了數列與三角函數的綜合應用問題，利用三角函數的降冪公式與和差化積公式求得sin（a₈-a₄）=1是關鍵，也是難點，也考查了化歸思想、函數與方程思想的應用問題，是較難的題目．