Question

設函數(shù)f（x）=-

1

3

x³+2ax²-3a²x+b（0＜a＜1）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）當x=

1

2

時，f（x）有極小值

1

3

，求a，b的值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）對f（x）求導，利用導數(shù)來判斷f（x）的增減性，并求出極值；
（2）由（1）的結論，求出a、b的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=-

1

3

x³+2ax²-3a²x+b（0＜a＜1），
∴f′（x）=-x²+4ax-3a²，令f′（x）=0，解得x=a或x=3a，列表如下：

x	（-∞，a）	a	（a，3a）	3a	（3a，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	遞減	- 4 3 a3+b	遞增	b	遞減

由表可知：當x∈（-∞，a）時，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
當x∈（3a，+∞）時，函數(shù)f（x）也為減函數(shù)，
當x∈（a，3a）時，函數(shù)f（x）為增函數(shù)；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，a），（3a，+∞），單調(diào)增區(qū)間為（a，3a）；
當x=a時，f（x）的極小值為-

4

3

a³+b，
當x=3a時，f（x）的極大值為b；
（2）當x=

1

2

時，f（x）有極小值

1

3

，
根據(jù)（1）得，a=

1

2

，且-

4

3

a³+b=

1

3

，
即-

4

3

×(

1

2

)3+b=

1

3

，解得b=

1

2

；
綜上，a=

1

2

，b=

1

2

．

點評：本題考查了利用導數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性與求函數(shù)極值的問題，也考查了含有字母系數(shù)的方程的解法問題，是中檔題．