Question

如圖所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，D、E分別是AB、BB1的中點，AA1＝AC＝CB＝AB.

(1)證明：BC1∥平面A1CD；

(2)求二面角DA1CE的正弦值．.

 

Answer 1

（1）見解析（2）

【解析】(1)證明：連結(jié)AC1交A1C于點F，則F為AC1中點．又D是AB中點，連結(jié)DF，則BC1∥DF.

因為DF?平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.

(2)由AC＝CB＝AB得AC⊥BC.以C為坐標(biāo)原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.

設(shè)CA＝2，則D(1，1，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，2)，＝(1，1，0)，＝(0，2，1)，＝(2，0，2)．

設(shè)n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，則即

可取n＝(1，－1，－1)．

同理，設(shè)m為平面A1CE的法向量，則可取m＝(2，1，－2)．

從而cos〈n，m〉＝＝，故sin〈n，m〉＝.即二面角D-A1C-E的正弦值為