Question

設函數f（x）=x+

2

x

（1）判斷函數在（0，

2

]上的單調性并給出證明．
（2）求函數當x∈[

1

4

，

2

3

]時的最大值和最小值．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數的最值及其幾何意義

專題：計算題,導數的概念及應用

分析：（1）求導得，f′（x）=1-

2

x2

，當x∈（0，

2

）時，f′（x）＜0，所以函數在（0，

2

]上是減函數．
（2）f（x）在[

1

4

，

2

3

]上也是減函數．最值易求．

解答： 解：（1）函數在（0，

2

]上是減函數．
求導得，f′（x）=1-

2

x2

，當x∈（0，

2

）時，f′（x）＜0，所以函數在（0，

2

]上是減函數．
（2）因為[

1

4

，

2

3

]?（0，

2

]，所以f（x）在[

1

4

，

2

3

]上也是減函數．
最小值為f（

2

3

）=

2

3

+3=

11

3

，最大值為f（

1

4

）=

1

4

+8=

33

4

．

點評：本題考查函數單調性的判斷以及應用：求最值，導數是研究函數單調性的有力工具．