Question

【題目】已知函數(shù)， ．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）2

【解析】試題分析：（1）先確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)后得，根據(jù)正負(fù)進(jìn)行討論，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）中可通過分離參數(shù)將問題轉(zhuǎn)化成在區(qū)間內(nèi)恒成立求解，令，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理可求得的最值。

試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>．

由題意得，

當(dāng)時(shí)， ，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，由，得或（舍去），

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減．

所以當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．

（2）由，

得，

因?yàn)?/span>，所以原命題等價(jià)于在區(qū)間內(nèi)恒成立．

令，

則，

令，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

又，

所以存在唯一的，使得，

且當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)， ， ，

所以當(dāng)時(shí)， 有極大值，也為最大值，且 ，

所以，

又，所以,

所以，

因?yàn)?/span>，

故整數(shù)的最小值為2．