Question

2．已知拋物線C：y²=8x的焦點(diǎn)F與雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)重合，C的準(zhǔn)線與E交于A，B，若|$\overrightarrow{AB}$|=6，則E的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

Answer 1

分析 求出拋物線C：y²=8x的焦點(diǎn)F（2，0），準(zhǔn)線方程為x=-2，利用拋物線C：y²=8x的焦點(diǎn)F與雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)重合，得a²+b²=4①，x=-2時(shí)，y=3，代入，可得$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{9}{^{2}}$=1②，由①②解得a，b，即可求出E的方程．

解答 解：拋物線C：y²=8x的焦點(diǎn)F（2，0），準(zhǔn)線方程為x=-2，
∵拋物線C：y²=8x的焦點(diǎn)F與雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)重合，
∴a²+b²=4①
x=-2時(shí)，y=3，代入，可得$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{9}{^{2}}$=1②，
由①②解得a=1，b=$\sqrt{3}$，
∴E的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
故答案為：x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查雙曲線的方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．