Question

12．在△ABC中，|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$|，|$\overrightarrow{CA}$|=4，|$\overrightarrow{CB}$|=3，若$\overrightarrow{BP}$=2$\overrightarrow{PA}$，則$\overrightarrow{CP}$•$\overline{AB}$的值為（　�。�

• A． $\frac{23}{3}$
• B． -$\frac{7}{2}$
• C． -$\frac{23}{3}$
• D． -8

Answer 1

分析 先判斷△ABC以C為直角的直角三角形，再根據(jù)向量的加減以及向量的數(shù)量積即可求出．

解答 解：∵|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$|，|$\overrightarrow{CA}$|=4，|$\overrightarrow{CB}$|=3，
∴△ABC以C為直角的直角三角形，
∴$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{CB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{CB}$+$\frac{2}{3}（\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}）$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CB}$，
∴$\overrightarrow{CP}$•$\overline{AB}$=（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CB}$）（$\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}$）=$\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$-$\frac{2}{3}{\overrightarrow{CA}}^{2}$+$\frac{1}{3}$${\overrightarrow{C{B}^{\;}}}^{2}$-$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=-$\frac{2}{3}{\overrightarrow{CA}}^{2}$+$\frac{1}{3}{\overrightarrow{C{B}^{\;}}}^{2}$=-$\frac{2}{3}×16$+$\frac{1}{3}×9$=-$\frac{23}{3}$
故選：C．

點評 本題考查了向量的加減的幾何意義以及向量的數(shù)量積的運算，屬于中檔題．