Question

18．已知函數(shù)f（x）=x-1-alnx（其中a為參數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)任意x∈（0，+∞），都有f（x）≥0成立，求實(shí)數(shù)a的取值集合；
（3）證明：（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ＜e＜（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ⁺¹（其中n∈N^*，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x），x∈（0，+∞），再討論a的取值范圍，從而求出其單調(diào)區(qū)間；
（2）求出f（x）_極小值=f（a）=a-1-alna．由此求出a≥$\frac{1}{1-lna}$；
（3）設(shè)數(shù)列a_n=（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ，數(shù)列b_n=（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ⁺¹，由 $\underset{lim}{x→∞}$（1+$\frac{1}{x}$）x=e，得：$\underset{lim}{n→∞}$a_n=e，$\underset{lim}{n→∞}$b_n=e．由已知條件推導(dǎo)出數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增且數(shù)列{b_n}單調(diào)遞減，由此能證明結(jié)論成立．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{x-a}{x}$，x∈（0，+∞），
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞），
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，得x=a，
x∈（0，a）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，
x∈（a，+∞）時(shí)，f（x）單調(diào)遞增；
綜上：a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上遞增，無減區(qū)間，
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，a），單調(diào)遞增區(qū)間為（a，+∞）；
（2）由（1）得：f（x）_極小值=f（a）=a-1-alna．
∵對(duì)任意x∈（0，+∞），都有f（x）≥0恒成立，
∴f（x）_極小值=f（a）=a-1-alna≥0．
∴a≥≥$\frac{1}{1-lna}$，解得a=1，
∴實(shí)數(shù)a的取值集合為{1}．
（Ⅱ）證明：設(shè)數(shù)列a_n=（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ，數(shù)列b_n=（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ⁺¹，
由 $\underset{lim}{x→∞}$（1+$\frac{1}{x}$）x=e，得：$\underset{lim}{n→∞}$a_n=e，$\underset{lim}{n→∞}$b_n=e，
因此只需證數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增且數(shù)列{b_n}單調(diào)遞減，
①證明數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增：
a_n=（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ＜（ $\frac{n+2}{n+1}$）ⁿ⁺¹=a_n+1，
∴數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增．
②證明數(shù)列{b_n}單調(diào)遞減：
b_n=（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ⁺¹=$\frac{1}{{（\frac{n}{n+1}）}^{n+1}}$=$\frac{1}{{（1-\frac{1}{n+1}）}^{n+1}}$（ 令 t=-（n+1），換元 ）
=（1+$\frac{1}{t}$）^t=a_t，
由①得a_t關(guān)于t單調(diào)遞增，而t=-（n+1）關(guān)于n單調(diào)遞減，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，{b_n}單調(diào)遞減，
∴（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ＜e＜（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造成法、導(dǎo)數(shù)和極限性質(zhì)的合理運(yùn)用．