Question

10．設k∈R，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{1-x}，x＜1}\\{-\sqrt{x-1}，x≥1}\end{array}\right.$，F(xiàn)（x）=f（x）-kx，x∈R．
（1）當k=1時，求函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)F（x）在（-∞，-1]內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當k=1時，分別求出函數(shù)F（x）的解析式，求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)之間的關系進行判斷．
（2）利用導數(shù)將函數(shù)F（x）在（-∞，-1]內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為F′（x）≥0恒成立，利用參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）當k=1時，F(xiàn)（x）=f（x）-x，
當x＜1時，F(xiàn)（x）=f（x）-x=$\frac{1}{1-x}$-x，
F′（x）=$\frac{1}{（x-1）^{2}}$-1=$\frac{1-（x-1）^{2}}{（x-1）^{2}}$=$\frac{-{x}^{2}+2x}{（x-1）^{2}}$，
由F′（x）＞0得-x²+2x＞0，即0＜x＜2，∵x＜1，∴此時0＜x＜1，函數(shù)為增函數(shù)，
由F′（x）＜0得-x²+2x＜0，即x＜0或x＞2，∵x＜1，∴此時x＜0，函數(shù)為減函數(shù)，
當x≥1時，F(xiàn)（x）=f（x）-x=-$\sqrt{x-1}$-x為減函數(shù)，
故函數(shù)F（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為為（-∞，0），[1，+∞），
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1）．
（2）當x≤-1時，F(xiàn)（x）=f（x）-kx=$\frac{1}{1-x}$-kx，
要使函數(shù)F（x）在（-∞，-1]內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，
則F′（x）≥0恒成立，
即F′（x）=$\frac{1}{（x-1）^{2}}$-k≥0，即k≤$\frac{1}{（x-1）^{2}}$，
∵x≤-1，∴（x-1）²≥4，
即0＜$\frac{1}{（x-1）^{2}}$≤$\frac{1}{4}$，
∴k≤0，即實數(shù)k的取值范圍是（-∞，0]．

點評 本題主要考查分段函數(shù)單調(diào)性的判斷，求出分段函數(shù)的表達式，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關鍵．