Question

9．對于函數(shù)f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為f（x）的一個不動點(diǎn)．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a＞0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=2，b=-2時，求f（x）的不動點(diǎn)；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）的對稱軸為直線x=m，若x₁，x₂為f（x）的不動點(diǎn)，且x₁＜1＜x₂，求證：m＞$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=2，b=-2時，化簡函數(shù)的解析式，利用定義求f（x）的不動點(diǎn)；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）的對稱軸為直線x=m，得到關(guān)系式，通過x₁，x₂為f（x）的不動點(diǎn)，且x₁＜1＜x₂，構(gòu)造函數(shù)，利用新函數(shù)的對稱軸的函數(shù)值證明m＞$\frac{1}{2}$．

解答 （本小題滿分15分）
解：（Ⅰ）依題意：f（x）=2x²-2x+1=x，即2x²-3x+1=0，…（3分）
解得$x=\frac{1}{2}$或1，即f（x）的不動點(diǎn)為$\frac{1}{2}$和1…（7分）
（Ⅱ）由f（x）表達(dá)式f（x）=ax²+bx+1（a＞0）．
函數(shù)的對稱軸為：x=$-\frac{2a}$，函數(shù)f（x）的對稱軸為直線x=m，
得$m=-\frac{2a}$，
令g（x）=f（x）-x，
∵g（x）=f（x）-x=ax²+（b-1）x+1，a＞0
由x₁＜1＜x₂得g（1）＜0，…（11分）
得$-\frac{a}＞1$，即證$m＞\frac{1}{2}$…（15分）

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力．