Question

19．?dāng)?shù)列{a_n}中，S_n=1+ka_n（k≠0，k≠1）．
（1）證明：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）當(dāng)k=-1時(shí)，求和a₁²+a₂²+…+a_n²．

Answer 1

分析 （1）由S_n=1+ka_n（k≠0，k≠1），當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1+ka₁，解得a₁；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{k}{k-1}$，利用等比數(shù)列的定義即可證明．
（2）由（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（3）當(dāng)k=-1時(shí)，a_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$.${a}_{n}^{2}$=$（\frac{1}{4}）^{n}$，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 （1）證明：∵S_n=1+ka_n（k≠0，k≠1），∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1+ka₁，解得a₁=$\frac{1}{1-k}$；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=1+ka_n-（1+ka_n-1），可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{k}{k-1}$，
∴數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{1}{1-k}$，公比為$\frac{k}{k-1}$．
（2）解：由（1）可得：a_n=$\frac{1}{1-k}•（\frac{k}{k-1}）^{n-1}$．（k≠0，k≠1）．
（3）解：當(dāng)k=-1時(shí)，a_n=$\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$（\frac{1}{2}）^{n}$．
${a}_{n}^{2}$=$（\frac{1}{4}）^{n}$，
∴數(shù)列$\{{a}_{n}^{2}\}$是等比數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{1}{4}$，公比為$\frac{1}{4}$．
∴和a₁²+a₂²+…+a_n²=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）$．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．