Question

19．如圖：在三棱錐P-ABC中，AB=AC=2$\sqrt{10}$，BC=4，PC=2$\sqrt{11}$，點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影恰為△ABC的重心G，M為側(cè)棱AP上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求證：平面PAG⊥平面BCM；
（2）當(dāng)M為AP中點(diǎn)時(shí)，求三棱錐M-PGC的體積．

Answer 1

分析 （1）取BC中點(diǎn)D，連接AD、PD，由已知條件推導(dǎo)出PG⊥BC，AG⊥BC，從而得到BC⊥平面PAG，由此能夠證明平面PAG⊥平面BCM．
（2）利用三棱錐M-PGC的體積=$\frac{1}{2}{V}_{A-PGC}$=$\frac{1}{2}{V}_{P-AGC}$，可得三棱錐M-PGC的體積．

解答 （1）證明：取BC中點(diǎn)D，連接AD、PD，
∵PG⊥平面ABC，∴PG⊥BC，
等腰△ABC中，G為重心，∴AG⊥BC，
∴BC⊥平面PAG，
∴平面PAG⊥平面BCM；
（2）解：△ABC中，AD=6，∴GD=2，
∵BC⊥平面PAG，∴CD⊥PD，
∴PD=2$\sqrt{10}$，∴GP=6，
∴三棱錐M-PGC的體積=$\frac{1}{2}{V}_{A-PGC}$=$\frac{1}{2}{V}_{P-AGC}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×4×6$=4．

點(diǎn)評 本題考查平面與平面垂直的證明，考查三棱錐M-PGC的體積的求法，正確運(yùn)用平面PAG⊥平面BCM的判定是關(guān)鍵．