Question

7．已知函數(shù)f（x）=sin2x-|sinx|-|cosx|（x∈R），則f（x）的值域?yàn)閇-1-$\sqrt{2}$，1-$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 設(shè)|sinx|+|cosx|=t，兩邊平方即可得到|sin2x|=t²-1，從而可求出t的范圍$[1，\sqrt{2}]$，討論sin2x＞0時(shí)，得到函數(shù)t²-t-1，根據(jù)該二次函數(shù)的單調(diào)性即可求出該函數(shù)在$[1，\sqrt{2}]$上的取值范圍，即求出了f（x）此時(shí)的范圍，同理可求出sin2x＜0時(shí)f（x）的取值范圍，這兩個(gè)取值范圍求并集即得f（x）的值域．

解答 解：設(shè)|sinx|+|cosx|=t，則：
|sinx|²+|2sinxcosx|+|cosx|²=t²；
∴|sin2x|=t²-1；
∴0≤t²-1≤1，t＞0；
∴$1≤t≤\sqrt{2}$；
①當(dāng)sin2x＞0時(shí)，將原函數(shù)變成關(guān)于t的函數(shù)g（t）=t²-t-1；
g（t）在$[1，\sqrt{2}]$上單調(diào)遞增；
∴$g（1）≤g（t）≤g（\sqrt{2}）$；
∴$-1≤g（t）≤1-\sqrt{2}$；
②當(dāng)sin2x＜0時(shí)，將原函數(shù)變成關(guān)于t的函數(shù)h（t）=-t²-t+1；
h（t）在$[1，\sqrt{2}]$上單調(diào)遞減；
∴$h（\sqrt{2}）≤h（t）≤h（1）$；
∴$-1-\sqrt{2}≤h（t）≤-1$；
∴綜上得f（x）的值域?yàn)閇$-1-\sqrt{2}$，$1-\sqrt{2}$]．
故答案為：$[-1-\sqrt{2}，1-\sqrt{2}]$．

點(diǎn)評(píng) 考查二倍角的正弦公式，sin²x+cos²x=1，以及換元求函數(shù)值域的方法，二次函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)值域．