Question

在△ABC中，a，b，c 滿(mǎn)足 acosA+bcosB=ccosC，請(qǐng)判斷△ABC的現(xiàn)狀，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的形狀判斷

專(zhuān)題：計(jì)算題,解三角形

分析：利用正弦定理可將acosA+bcosB=ccosC轉(zhuǎn)化為sin2A+sin2B=2sinCcosC，再利用和差化積公式與誘導(dǎo)公式、兩角和與差的余弦公式即可判斷△ABC的形狀．

解答： 解：∵在△ABC中，a，b，c 滿(mǎn)足 acosA+bcosB=ccosC，
∴由正弦定理得，sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC，
即sin2A+sin2B=2sinCcosC，
由和差化積公式得：sin2A+sin2B=2sin（A+B）cos（A-B），
∴2sin（A+B）cos（A-B）=2sinCcosC，
∵△ABC中，A+B+C=π，
∴sin（A+B）=sin（π-C）=sinC，且sinC≠0，
∴cos（A-B）=cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B），
由兩角和與差的余弦公式展開(kāi)整理得：cosAcosB=0，
∴A=

π

2

或B=

π

2

，
∴△ABC為直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形的形狀判斷，著重考查正弦定理與二倍角的正弦、兩角和與差的余弦公式及和差化積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．