Question

（本小題滿分12分）

已知拋物線C₁:y²=4x的焦點與橢圓C₂:的右焦點F₂重合，F(xiàn)₁是橢圓的左焦點；

（Ⅰ）在ABC中，若A(-4,0)，B(0,-3)，點C在拋物線y²=4x上運動，求ABC重心G的軌跡方程；

（Ⅱ）若P是拋物線C₁與橢圓C₂的一個公共點，且∠PF₁F₂=，∠PF₂F₁=,求cos的值及PF₁F₂的面積。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） (y+1)²=.(Ⅱ) .

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)重心G(x,y)，則 整理得………2分

將(*)式代入y²=4x中，得(y+1)²= ∴重心G的軌跡方程為(y+1)²=.………4分

(Ⅱ) ∵橢圓與拋物線有共同的焦點，由y²=4x得F₂(1,0)，∴b²=8，橢圓方程為.………6分

設(shè)P(x₁,y₁) 由得，∴x₁=，x₁=-6(舍).

∵x=-1是y²=4x的準(zhǔn)線，即拋物線的準(zhǔn)線過橢圓的另一個焦點F₁。

設(shè)點P到拋物線y²=4x的準(zhǔn)線的距離為PN，則︱PF₂︱=︱PN︱.

又︱PN︱=x₁+1=,

∴.………………………8分

過點P作PP₁⊥x軸，垂足為P₁，在Rt△PP₁F₁中，cosα=在Rt△PP₁F₂中，cos(л-β)=,cosβ=,∴cosαcosβ=�！�……………………………10分

∵x₁=,∴∣PP₁∣=,∴.………………………12分

考點：本題考查了軌跡方程的求法及直線與拋物線的位置關(guān)系

點評：此類問題利用動點是定曲線上的動點，另一動點依賴于它，那么可尋求它們坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后代入定曲線的方程進行求解，就得到原動點的軌跡