【題目】設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1=3an ， n∈N* ． 設(shè)Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，已知b1≠0，2bn﹣b1=S1Sn ， n∈N*
（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)cn=bnlog3an ， 求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn；
（Ⅲ）證明：對(duì)任意n∈N*且n≥2，有 + +…+ ＜ ．

【答案】解：（Ⅰ）∵an+1=3an，∴{an}是公比為3，首項(xiàng)a1=1的等比數(shù)列，

∴通項(xiàng)公式為an=3n﹣1．

∵2bn﹣b1=S1Sn，∴當(dāng)n=1時(shí)，2b1﹣b1=S1S1，

∵S1=b1，b1≠0，∴b1=1．

∴當(dāng)n＞1時(shí)，bn=Sn﹣Sn﹣1=2bn﹣2bn﹣1，∴bn=2bn﹣1，

∴{bn}是公比為2，首項(xiàng)a1=1的等比數(shù)列，

∴通項(xiàng)公式為bn=2n﹣1．

（Ⅱ）cn=bnlog3an=2n﹣1log33n﹣1=（n﹣1）2n﹣1，

Tn=020+121+222+…+（n﹣2）2n﹣2+（n﹣1）2n﹣1…①

2Tn=021+122+223+…+（n﹣2）2n﹣1+（n﹣1）2n…②

①﹣②得：﹣Tn=020+21+22+23+…+2n﹣1﹣（n﹣1）2n

=2n﹣2﹣（n﹣1）2n=﹣2﹣（n﹣2）2n

∴Tn=（n﹣2）2n+2．

（Ⅲ） = = = ≤ + + +…+

＜ + +…+ =

= （1﹣ ）＜


【解析】（Ⅰ）判斷an}是等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，判斷{bn}是等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式為bn．（Ⅱ）化簡(jiǎn)cn的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法求解Tn即可．（Ⅲ）化簡(jiǎn) 并利用放縮法，通過(guò)數(shù)列求和證明即可．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解數(shù)列的前n項(xiàng)和(數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系)．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知向量 =（m，cos2x）， =（sin2x，n），設(shè)函數(shù)f（x）= ，且y=f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（ ， ）和點(diǎn)（ ，﹣2）．
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）將y=f（x）的圖象向左平移φ（0＜φ＜π）個(gè)單位后得到函數(shù)y=g（x）的圖象．若y=g（x）的圖象上各最高點(diǎn)到點(diǎn)（0，3）的距離的最小值為1，求y=g（x）的單調(diào)增區(qū)間．

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【題目】已知函數(shù)f（x）=alnx+x2（a為實(shí)常數(shù)）．
（Ⅰ）若a=﹣2，求證：函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值及相應(yīng)的x值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為 （其中t為參數(shù)）．現(xiàn)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=6cosθ．
（Ⅰ） 寫出直線l普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ） 過(guò)點(diǎn)M（﹣1，0）且與直線l平行的直線l1交C于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】將三顆骰子各擲一次，記事件A=“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不同”，B=“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”，則條件概率P（A|B），P（B|A）分別是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex+ax2﹣ex，a∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）試確定a的取值范圍，使得曲線y=f（x）上存在唯一的點(diǎn)P，曲線在該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)P．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】定義：如果函數(shù)y=f（x）在定義域內(nèi)給定區(qū)間[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），滿足f（x0）= ，則稱函數(shù)y=f（x）是[a，b]上的“平均值函數(shù)”，x0是它的一個(gè)均值點(diǎn)．例如y=|x|是[﹣2，2]上的平均值函數(shù)，0就是它的均值點(diǎn)．若函數(shù)f（x）=x2﹣mx﹣1是[﹣1，1]上的“平均值函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知f（x）是定義域?yàn)椋?，+∞）的單調(diào)函數(shù)，若對(duì)任意的x∈（0，+∞），都有 ，且方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在區(qū)間（0，3]上有兩解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.0＜a≤5
B.a＜5
C.0＜a＜5
D.a≥5

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【題目】已知不等式ln（x+1）﹣1≤ax+b對(duì)一切x＞﹣1都成立，則 的最小值是（ ）
A.e﹣1
B.e
C.1﹣e﹣3
D.1

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