【題目】已知f(x)是定義域?yàn)椋?,+∞)的單調(diào)函數(shù),若對(duì)任意的x∈(0,+∞),都有 ,且方程|f(x)﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在區(qū)間(0,3]上有兩解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(
A.0<a≤5
B.a<5
C.0<a<5
D.a≥5

【答案】A
【解析】解:∵定義域?yàn)椋?,+∞)的單調(diào)函數(shù)f(x)

滿足f[f(x)+log x]=4,

∴必存在唯一的正實(shí)數(shù)a,

滿足f(x)+log x=a,f(a)=4,①

∴f(a)+log a=a,②

由①②得:4+log a=a,log a=a﹣4,

a=( a4,左增,右減,有唯一解a=3,

故f(x)+log x=a=3,

f(x)=3﹣log x,

由方程|f(x)﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在區(qū)間(0,3]上有兩解,

即有|log x|=x3﹣6x2+9x﹣4+a,

由g(x)=x3﹣6x2+9x﹣4+a,g′(x)=3x2﹣12x+9=3(x﹣1)(x﹣3),

當(dāng)1<x<3時(shí),g′(x)<0,g(x)遞減;當(dāng)0<x<1時(shí),g′(x)<0,g(x)遞增.

g(x)在x=1處取得最大值a,g(0)=a﹣4,g(3)=a﹣4,

分別作出y=|log x|,和y=x3﹣6x2+9x﹣4的圖象,可得

兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn),將y=x3﹣6x2+9x﹣4的圖象向上平移,

至經(jīng)過點(diǎn)(3,1),有兩個(gè)交點(diǎn),

由g(3)=1即a﹣4=1,解得a=5,

當(dāng)0<a≤5時(shí),兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn),

即方程|f(x)﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在區(qū)間(0,3]上有兩解.

故選:A.

由題設(shè)知必存在唯一的正實(shí)數(shù)a,滿足f(x)+log x=a,f(a)=4,f(a)+log a=a,故4+log a=a,log a=a﹣4,a=( a4,左增,右減,有唯一解a=3,故f(x)+log x=a=3,由題意可得|log x|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在區(qū)間(0,3]上有兩解,討論g(x)=x3﹣6x2+9x﹣4+a的單調(diào)性和最值,分別畫出作出y=|log x|,和y=x3﹣6x2+9x﹣4的圖象,通過平移即可得到a的范圍.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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組別

PM2.5濃度(微克/立方米)

頻數(shù)(天)

頻率

第一組

(0,25]

3

0.15

第二組

(25,50]

12

0.6

第三組

(50,75]

3

0.15

第四組

(75,100]

2

0.1


(1)將這20天的測(cè)量結(jié)果按上表中分組方法繪制成的樣本頻率分布直方圖如圖. ①求頻率分布直方圖中a的值;
②求樣本平均數(shù),并根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想,從PM2.5的年平均濃度考慮,判斷該居民區(qū)的環(huán)境質(zhì)量是否需要改善?并說明理由.
(2)將頻率視為概率,對(duì)于2016年的某3天,記這3天中該居民區(qū)PM2.5的24小時(shí)平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的天數(shù)為X,求X的分布列.

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