Question

14．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為平行四邊形，平面PAB⊥平面ABCD，PB=PC，∠ABC=45°．
（Ⅰ）求證：AB⊥PC；
（Ⅱ）若三角形PAB是邊長為2的等邊三角形，求三棱錐P-ABC外接球的表面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作PO⊥AB于O，連接OC，推導(dǎo)出PO⊥面ABCD．再求出OC⊥AB，從而AB⊥面POC，由此能證明AB⊥PC．
（Ⅱ）在線段PO上取點(diǎn)E，EA=EB=EC，E是外接球的球心，設(shè)三棱錐P-ABC外接球的半徑為R，則EC²=EO²+OC²，由此能求出三棱錐P-ABC外接球的表面積．

解答 證明：（Ⅰ）作PO⊥AB于O…①，連接OC，
∵平面PAB⊥平面ABCD，且面PAB∩面ABCD=AB，
∴PO⊥面ABCD．
∵PB=PC，∴△POB≌△POC，∴OB=OC，
又∵∠ABC=45°，∴OC⊥AB…②
又PO∩CO=O，由①②，得AB⊥面POC，
又PC?面POC，∴AB⊥PC．…（6分）
解：（Ⅱ）∵三角形PAB是邊長為2的等邊三角形，
∴$PO=\sqrt{3}，OA=OB=OC=1$．
∵PO⊥面ABCD，PO＞OA=OB=OC，線段PO上取點(diǎn)E，
∴EA=EB=EC，E是外接球的球心，
設(shè)三棱錐P-ABC外接球的半徑為R，
$EO=\sqrt{3}-R，EC=R$，EC²=EO²+OC²，
${R^2}={1^2}+{（\sqrt{3}-R）^2}$，$R=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
∴三棱錐P-ABC外接球的表面積$S=4π{R^2}=\frac{16π}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明，考查幾何體的表面積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想是，是中檔題．