Question

13．如圖，一條直線與拋物線y²=2px（p＞0）交于A，B兩點，且OA⊥OB，F(xiàn)為拋物線的焦點，若△ABO與△AFO面積之和的最小值為50$\sqrt{5}$，則拋物線的方程為（　�。�

• A． y²=20x
• B． y²=10x
• C． y²=5x
• D． y²=$\frac{5}{2}$x

Answer 1

分析 先設(shè)直線方程和點的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線的方程得到一個一元二次方程，再利用韋達定理及兩直線垂直的條件：x₁•x₂+y₁•y₂=0消元，最后將面積之和表示出來，運用基本不等式探求最值問題．

解答 解：設(shè)直線AB的方程為：x=ty+m，點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線AB與x軸的交點為M（m，0），
將x=ty+m代入y²=2px，可得y²-2pty-2pm=0，
根據(jù)韋達定理有y₁•y₂=-2pm，
∵OA⊥OB，∴x₁•x₂+y₁•y₂=0，從而$\frac{1}{4{p}^{2}}$（y₁•y₂）²+y₁•y₂=0，
∵點A，B位于x軸的兩側(cè)，
∴y₁•y₂=-4p²，故m=2p．
不妨令點A在x軸上方，則y₁＞0，
又F（$\frac{p}{2}$，0），
∴S_△ABO+S_△AFO=$\frac{1}{2}$×2p×（y₁-y₂）+$\frac{1}{2}$×$\frac{p}{2}$y₁=$\frac{5p}{4}$y₁+$\frac{4{p}^{3}}{{y}_{1}}$≥2$\sqrt{5}$p²，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{5p}{4}$y₁=$\frac{4{p}^{3}}{{y}_{1}}$時，取“=”號，
∴2$\sqrt{5}$p²=50$\sqrt{5}$，∴p=5，
故拋物線的方程為：y²=10x．
故選B．

點評 求解本題時，應(yīng)考慮以下幾個要點：
1、聯(lián)立直線與拋物線的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韋達定理與已知條件消元，這是處理此類問題的常見模式．
2、求三角形面積時，為使面積的表達式簡單，常根據(jù)圖形的特征選擇適當(dāng)?shù)牡着c高．
3、利用基本不等式時，應(yīng)注意“一正，二定，三相等”．