Question

19．已知△ABC滿足$\sqrt{3}$（sin²B+sin²C-sin²A）=2sinBsinC．
（1）求tanA；
（2）若BC=2$\sqrt{2}$，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理把角化邊，再利用余弦定理得出cosA，從而得出tanA；
（2）利用余弦定理和基本不等式得出bc的最大值，代入三角形的面積公式得出面積的最大值．

解答 解：（1）∵$\sqrt{3}$（sin²B+sin²C-sin²A）=2sinBsinC，
∴b²+c²-a²=$\frac{2\sqrt{3}}{3}bc$．
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=$\sqrt{2}$．
（2）由余弦定理得cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{^{2}+c{\;}^{2}-8}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴b²+c²=$\frac{2\sqrt{3}}{3}bc$+8≥2bc，∴bc≤6+2$\sqrt{3}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{6}}{6}$bc≤$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$．
∴△ABC的面積的最大值為$\sqrt{6}+\sqrt{2}$．

點評 本題考查了正弦定理，余弦定理，不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．