Question

8．已知過(guò)原點(diǎn)O的動(dòng)直線l與圓C：（x+1）²+y²=4交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若|AB|=$\sqrt{15}$，求直線l的方程；
（Ⅱ）x軸上是否存在定點(diǎn)M（x₀，0），使得當(dāng)l變動(dòng)時(shí)，總有直線MA、MB的斜率之和為0？若存在，求出x₀的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出圓心C（-1，0）到直線l的距離為$\frac{1}{2}$，利用點(diǎn)到直線距離公式能求出直線l的方程．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂．設(shè)l的方程為y=kx，代入圓C的方程得（k²+1）x²+2x-3=0，由此利用韋達(dá)定理，結(jié)果已知條件能求出存在定點(diǎn)M（3，0），使得當(dāng)l變動(dòng)時(shí)，總有直線MA、MB的斜率之和為0．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)圓心C（-1，0）到直線l的距離為d，
則d=$\sqrt{|CA{|}^{2}-（\frac{|AB|}{2}）^{2}}$=$\sqrt{4-\frac{15}{4}}$=$\frac{1}{2}$，…（2分）
當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，d=1，不合題意
當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx，
由點(diǎn)到直線距離公式得$\frac{|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{1}{2}$，
解得k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，故直線l的方程為y=$±\frac{\sqrt{3}}{3}x$．…（5分）
（Ⅱ）存在定點(diǎn)M，且x₀=3，證明如下：
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂．
當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱性可得∠AMC=∠BMC，k₁+k₂=0，符合題意
當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx，代入圓C的方程
整理得（k²+1）x²+2x-3=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2}{{k}^{2}+1}$，${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{3}{{k}^{2}+1}$．…（8分）
∴${k}_{1}+{k}_{2}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{0}}$=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-k{x}_{0}（{x}_{1}+{x}_{2}）}{（{x}_{1}-{x}_{0}）（{x}_{2}-{x}_{0}）}$
=$\frac{（2{x}_{0}-6）k}{（{x}_{1}-{x}_{0}）（{x}_{2}-{x}_{0}）（{k}^{2}+1）}$．
當(dāng)2x₀-6=0，即x₀=3時(shí)，有k₁+k₂=0，
所以存在定點(diǎn)M（3，0）符合題意，x₀=3．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程的求法，考查滿足條件的定點(diǎn)是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．