Question

17．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-4t+5}\\{y=3t-1}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，圓N的方程為ρ²-6ρsinθ=-8．
（1）求圓N的直角坐標(biāo)方程；
（2）判斷直線l與圓N的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系進(jìn)行化簡求解即可．
（2）消去參數(shù)求出直線l的普通方程，求出圓心到直線的距離與半徑之間的關(guān)系進(jìn)行判斷．

解答 解：（1）∵y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，
∴由ρ²-6ρsinθ=-8得x²+y²-6y=-8，
即x²+（y-3）²=1，
則圓N的直角坐標(biāo)方程是x²+（y-3）²=1；
（2）∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-4t+5}\\{y=3t-1}\end{array}\right.$，
∴消去參數(shù)t得$\frac{y-1}{3}=\frac{x-5}{-4}$，即3x+4y-19=0，
則圓心C（0，3）的直線的距離d=$\frac{|0+4×3-19|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{7}{5}$＞1，
即直線l與圓N的位置關(guān)系是相離．

點(diǎn)評 本題主要考查圓的方程以及直線好圓的位置關(guān)系的判斷，根據(jù)極坐標(biāo)和參數(shù)方程與普通坐標(biāo)之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為普通方程是解決本題的關(guān)鍵．