Question

10．過點M（1，1）作斜率為-$\frac{1}{4}$的直線與橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），相交于A、B兩點，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 利用點差法，結(jié)合M是線段AB的中點，斜率為-$\frac{1}{4}$，即可求出橢圓C的離心率．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的斜率為-$\frac{1}{4}$，即$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-$\frac{1}{4}$，
直線AB的中點坐標(biāo)為M（1，1），$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=1}\\{\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，
由$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{^{2}}=1$，
兩式相減得：得$\frac{{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}-{y}_{2}^{2}}{^{2}}=0$，
∴$\frac{2}{{a}^{2}}$+（-$\frac{1}{4}$）$\frac{2}{^{2}}$=0，
a²=4b²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故選：A．

點評 本題考查橢圓的離心率，考查點差法的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．