Question

5．設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，右焦點F為拋物線y²=4x的焦點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過F任作兩條互相垂直的直線l₁，l₂與橢圓C分別交于A，B兩點和C，D兩點；
①試探究$\frac{1}{|AB|}$+$\frac{1}{|CD|}$是否為定值？若是，求出這個定值，若不是，請說明理由；
②求四邊形ACBD面積的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意：離心率為$\frac{1}{2}$，右焦點F為拋物線y²=4x的焦點．建立關(guān)系解出a，b．
（2）①：利用F，設(shè)其中一條直線方程，設(shè)而不求法；把AB和CD線段表示出來，圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程求證即可．
②直線l₁，l₂相互垂直，利用①，即可求四邊形ACBD面積的最大值和最小值．

解答 解：（1）由題意：離心率為$\frac{1}{2}$，右焦點F為拋物線y²=4x的焦點．
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，右焦點F（c，0），拋物線y²=4x的焦點為：（1，0）
∴c=1，a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$
所以：橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由（1）可知右焦點F（1，0），
k不存在時：過AB直線l₁為：x=1，則過CD直線l₂為：y=0
∴|AB|=3，|CD|=2a=4
所以：$\frac{1}{|AB|}$+$\frac{1}{|CD|}$=$\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{7}{12}$（定值）
k存在時：
設(shè)過AB直線l₁為：y=k（x-1），則過CD直線l₂為：y=$-\frac{1}{k}$（x-1），
設(shè)A（x_A，y_A），B（（x_B，y_B））C（x_C，y_C），D（x_D，y_D）
由$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，y=k（x-1），
可得：x_A+x_B=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$
             x_Ax_B=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{A}-{x}_{B}）^{2}-4{x}_{A}{x}_{B}}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$
同理：
由$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，y=$-\frac{1}{k}$（x-1），
可得：x_C+x_D=$\frac{8}{3{k}^{2}+4}$
        x_Cx_D=$\frac{4-12{k}^{2}}{3{k}^{2}+4}$
|CD|=$\frac{12（{k}^{2}+1）}{4+3{k}^{2}}$
∴$\frac{1}{|AB|}$+$\frac{1}{|CD|}$=$\frac{7}{12}$（定值）
②四邊形ACBD面積=|AB|×|CD|
當(dāng)k不存在時：|AB|=$\frac{2^{2}}{a}$=3，|CD|=2a=4
S=$\frac{1}{2}$×3×4=6
k存在時：
S=$\frac{1}{2}×$$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$×$\frac{12（{k}^{2}+1）}{4+3{k}^{2}}$=$\frac{72（{k}^{2}+1）^{2}}{12{k}^{4}+25{k}^{2}+12}$=$\frac{72（{k}^{2}+1）^{2}}{12（{k}^{2}+1）^{2}+{k}^{2}}$=$\frac{72}{12+（\frac{k}{{k}^{2}+1}）^{2}}$
令$y=\frac{k}{{k}^{2}+1}$
則$\frac{1}{y}=k+\frac{1}{k}≥2$（當(dāng)且當(dāng)k=1時取等號）
∴$0≤{y}^{2}≤\frac{1}{4}$
所以：S_max=6
        ${S}_{min}=\frac{288}{49}$

點評 本題考查了直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了橢圓的簡單性質(zhì)，考查弦長公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，基本不等式的運用，計算量大，要求能力高，屬于難題．