Question

12．已知函數(shù)y=f（x）（x∈I），對(duì)函數(shù)y=g（x）（x∈I），定義g（x）關(guān)于f（x）的“對(duì)稱(chēng)函數(shù)”為函數(shù)y=h（x），x∈I．即y=h（x），x∈I滿足對(duì)任意x∈I，兩點(diǎn)（x，h（x）），（x，g（x））關(guān)于點(diǎn)（x，f（x））對(duì)稱(chēng)．若h（x）是$g（x）=\sqrt{4-{x^2}}$關(guān)于f（x）=3x+m的對(duì)稱(chēng)函數(shù)，且h（x）＞g（x）恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（2$\sqrt{10}$，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)對(duì)稱(chēng)函數(shù)的定義，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為直線和圓的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合得結(jié)論．

解答 解：根據(jù)“對(duì)稱(chēng)函數(shù)”的定義可知，$\frac{h（x）+\sqrt{4-{x}^{2}}}{2}$=3x+m，
即h（x）=6x+2m-$\sqrt{4-{x}^{2}}$，
若h（x）＞g（x）恒成立，
則等價(jià)為6x+2m-$\sqrt{4-{x}^{2}}$＞$\sqrt{4-{x}^{2}}$，
即3x+m＞$\sqrt{4-{x}^{2}}$恒成立，
設(shè)y₁=3x+m，y₂=$\sqrt{4-{x}^{2}}$，
作出兩個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖象如圖，
當(dāng)直線和上半圓相切時(shí)，圓心到直線的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{10}}$=2，
即|m|=2$\sqrt{10}$，
∴m=2$\sqrt{10}$或-2$\sqrt{10}$，（舍去），
即要使h（x）＞g（x）恒成立，
則m＞2$\sqrt{10}$，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是（2$\sqrt{10}$，+∞），
故答案為：（2$\sqrt{10}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)稱(chēng)函數(shù)的定義的理解，以及不等式恒成立的證明，利用直線和圓的位置關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，屬中檔題．