Question

4．用數(shù)學(xué)歸納法證明1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…$+$\frac{1}{{2}^{n}-1}＜n$（n∈N且n＞1），第二步證明中從“k到k+1”時，左端增加的項數(shù)是（　�。�

• A． 2^k+1
• B． 2^k-1
• C． 2^k
• D． 2^k-1

Answer 1

分析 當n=k時，寫出左端，并當n=k+1時，寫出左端，兩者比較，關(guān)鍵是最后一項和增加的第一項的關(guān)系．

解答 解：當n=k時，左端=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…$+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$，
那么當n=k+1時  左端=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…$+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…$+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}+{2}^{k}-1}$，
∴左端增加的項為$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}+{2}^{k}-1}$，所以項數(shù)為：2^k．
故選：C．

點評 本題考查數(shù)學(xué)歸納法證明，其中關(guān)鍵一步就是從k到k+1，是學(xué)習(xí)中的難點，也是學(xué)習(xí)中重點，解答過程中關(guān)鍵是注意最后一項與增添的第一項．