Question

13．若等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁=C_5m^11-2m-A_11-3m^2m-2（m∈N），公差是${（\frac{5}{2x}-\frac{2}{5}\root{3}{x^2}）^n}$展開式中的常數(shù)項(xiàng)，其中n為77⁷⁷-15除以19的余數(shù)，求通項(xiàng)公式a_n．

Answer 1

分析 由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{5m≥11-2m}\\{11-3m≥2m-2}\end{array}\right.$，解不等式可得m值，進(jìn)而可得a₁，由二項(xiàng)展開式可得n=5，再由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)可得r值，可得通項(xiàng)公式．

解答 解：由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{5m≥11-2m}\\{11-3m≥2m-2}\end{array}\right.$，解得$\frac{11}{7}$≤m≤$\frac{13}{5}$，
又∵m∈N，∴m=2，∴${a_1}=C_{10}^7-A_5^2=100$，
又77⁷⁷-15=${（19×4+1）^{77}}-15=C_{77}^0+C_{77}^1（19×4）+…+C_{77}^{77}{（19×4）^{77}}-15$
=$（19×4）[C_{77}^1+C_{77}^2（19×4）+…+C_{77}^{77}{（19×4）^{76}}]-19+5$
∴77⁷⁷-15除以19的余數(shù)為5，即n=5                    
又${T_{r+1}}=C_5^r{（\frac{5}{2x}）^{5-r}}{（-\frac{2}{5}\root{3}{x^2}）^r}=C_5^r{（\frac{5}{2}）^{5-2r}}{x^{\frac{5r-15}{3}}}{（-1）^r}$，
令5r-15=0可解得r=3，∴$d=C_5^3{（\frac{5}{2}）^{5-6}}{（-1）^3}=-4$，
∴a_n=a₁+（n-1）d=104-4n

點(diǎn)評 本題考查二項(xiàng)式定理，涉及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和排列組合數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題．