Question

14．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的左右焦點為F₁，F(xiàn)₂，P為橢圓橢圓上任一點，則|PF₁|•|PF₂|的最大值為4．

Answer 1

分析 由橢圓方程求出橢圓的長半軸長和橢圓的離心率，由焦半徑公式得到|PF₁|，|PF₂|，作積后由x的范圍求得
|PF₁|•|PF₂|的最大值．

解答 解：由橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
設(shè)P（x，y），
由焦半徑公式得|PF₁|=2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，|PF₂|=2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴|PF₁|•|PF₂|=（2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x）（2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x）=4-$\frac{3}{4}$x²，
∵x∈[-2，2]
∴當x=0時，|PF₁|•|PF₂|的最大值是4．

故答案為：4．

點評 本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了焦半徑公式的應用，是中檔題．