Question

已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率，點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)F₂且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F₁作直線l，交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，若，求直線l的傾斜角．

Answer 1

考點(diǎn)：

直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

專題：

圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題．

分析：

（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．右焦點(diǎn)F₂（c，0），把x=c代入橢圓方程得，解得．可得．利用離心率計(jì)算公式及a，b，c的關(guān)系可得，解出即可．

（2）設(shè)直線l與橢圓的交點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．分當(dāng)直線l的斜率為0和不為時(shí)討論，斜率不為0時(shí)設(shè)直線l的方程為my=x+1，與橢圓的方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用數(shù)量積，即可得出．直線l的斜率為0時(shí)比較簡(jiǎn)單．

解答：

解：（1）由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

右焦點(diǎn)F₂（c，0），把x=c代入橢圓方程得，解得．

∴．

聯(lián)立，解得．

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）設(shè)直線l與橢圓的交點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．

①當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為my=x+1．

聯(lián)立，得（2+m²）y²﹣2my﹣1=0．

∴，．

∵2==（x₁﹣1，y₁）•（x₂﹣1，y₂）=（my₁﹣2，y₁）•（my₂﹣2，y₂）=（m²+1）y₁y₂﹣2m（y₁+y₂）+4，

∴2=，

化為m²=1，解得m=±1，

∴直線l的斜率k==±1．

設(shè)直線的傾斜角為α，則tanα=±1．

∴或．

②當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，P，Q．

==﹣1≠2，不符合題意，應(yīng)舍去．

綜上可知：直線l的傾斜角α為或．

點(diǎn)評(píng)：

本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了分類討論的思想方法、推理能力和計(jì)算能力．