Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax-e^x，a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（2）若對(duì)任意x∈R，a＞0．f（x）≤a²-ka恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專(zhuān)題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)f′（x）=a-e^x，分a＞0與a＜0討論，從而可得當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在x=lna處取得最大值f（lna）=alna-a，從而可得f（lna）=alna-a＞0，從而解a；
（2）由題意，對(duì)任意x∈R，a＞0．f（x）≤a²-ka恒成立可化為k≤a+1-lna恒成立，令g（a）=a+1-lna，從而化為最值問(wèn)題．

解答： 解：（1）f′（x）=a-e^x．
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在R上單調(diào)遞減，最多存在一個(gè)零點(diǎn)，不滿足條件；
當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）=0解得x=lna，當(dāng)x＞lna時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＜lna時(shí)，f′（x）＞0．
故f（x）在x=lna處取得最大值f（lna）=alna-a，
∵f（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)，
∴f（lna）=alna-a＞0，
∴a＞e，
即a的取值范圍是（e，+∞）；
（2）由（Ⅰ）知f（x）≤alna-a，故只需alna-a≤a²-ka，
即k≤a+1-lna．
令g（a）=a+1-lna，
g′（a）=1-

1

a

，
當(dāng)a＞1時(shí)，g′（a）＞0；當(dāng)a＜1時(shí)，g′（a）＜0．
故g（a）在a=1處取得最小值2，則k≤2，
即k的取值范圍是（-∞，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的零點(diǎn)及恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．