Question

【題目】在平面直角坐標系中，曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為，曲線C2的極坐標方程為ρ＝2sinθ.

（1）探究直線l與曲線C2的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若曲線C3的極坐標方程為，且曲線C3與曲線C1、C2分別交于M、N兩點，求|OM|2|ON|2的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）相離，理由見解析；（2）

【解析】

（1）將直線和曲線都化成直角坐標方程后，用圓心到直線的距離與半徑比較大小可得； （2）用曲線和的極坐標方程聯(lián)立，用極徑的幾何意義可求解．

(1)由題意得ρ2＝2ρsinθ，

令y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，得曲線C2的直角坐標方程為x2+y2﹣2y＝0，即x2+(y﹣1)2＝1，

由直線l：ρcos(θ)＝2得ρcosθ﹣ρsinθ＝4，

所以直線l的直角坐標方程為x﹣y﹣4＝0，

因為圓心(0，1)到直線l的距離為1，

所以直線l與曲線C2相離.

(2)由題意得曲線C1的普通方程為2＝1，

故其極坐標方程為ρ2sin2θ＝1，

則|OM|2，|ON|2＝4sin2α，

即|OM|2|OB|2，

因為0<α，所以0<sinα<1，

所以|OM|2|ON|2∈(0，4)，即|OM|2|ON|2的取值范圍是(0，4)