【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率為,求函數(shù)在上的最小值;
(2)若關(guān)于的方程在上有兩個解,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)先求,導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,即可.
(2)由題意可知,若使得關(guān)于的方程在上有兩個解,則需在有兩個解. 令,,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值,令,求解即可.
(1)由題意可知,,
則,即,
故;
令,即;
當(dāng)時,在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時,在上單調(diào)遞增.
因為,,
所以
故函數(shù)在上的最小值為.
(2)依題意,;
若使得關(guān)于的方程在上有兩個解
則需在有兩個解.
令,.
①當(dāng)時,
所以在上單調(diào)遞增.
由零點存在性定理,在至多一個零點,不符合題意舍去.
②當(dāng)時,令,則.
0 | |||
單調(diào)遞增 | 極大值 | 單調(diào)遞減 |
因為,,
所以要使在內(nèi)有兩個零點,
則即可,即,
又因為,所以
綜上所述,實數(shù)的取值范圍為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線和圓,傾斜角為45°的直線過拋物線的焦點,且與圓相切.
(1)求的值;
(2)動點在拋物線的準(zhǔn)線上,動點在上,若在點處的切線交軸于點,設(shè).求證點在定直線上,并求該定直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求曲線的斜率為1的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)時,求證:;
(Ⅲ)設(shè),記在區(qū)間上的最大值為M(a),當(dāng)M(a)最小時,求a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》中有一分鹿問題:“今有大夫、不更、簪裊、上造、公士,凡五人,共獵得五鹿.欲以爵次分之,問各得幾何.”在這個問題中,大夫、不更、簪裊、上造、公士是古代五個不同爵次的官員,現(xiàn)皇帝將大夫、不更、簪梟、上造、公士這5人分成兩組(一組2人,一組3人),派去兩地執(zhí)行公務(wù),則大夫、不更恰好在同一組的概率為( )
A.B.C.D.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ.
(1)探究直線l與曲線C2的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若曲線C3的極坐標(biāo)方程為,且曲線C3與曲線C1、C2分別交于M、N兩點,求|OM|2|ON|2的取值范圍.
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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,上、下頂點分別為,若,點關(guān)于直線的對稱點在橢圓上.
(1)求橢圓的方程與離心率;
(2)過點做直線與橢圓相交于兩個不同的點;若恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】如圖所示,某班一次數(shù)學(xué)測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的污損,其中,頻率分布直方圖的分組區(qū)間分別為,據(jù)此解答如下問題.
(Ⅰ)求全班人數(shù)及分?jǐn)?shù)在之間的頻率;
(Ⅱ)現(xiàn)從分?jǐn)?shù)在之間的試卷中任取 3 份分析學(xué)生情況,設(shè)抽取的試卷分?jǐn)?shù)在的份數(shù)為 ,求的分布列和數(shù)學(xué)望期.
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【題目】已知拋物線,的焦點為,過點的直線的斜率為,與拋物線交于,兩點,拋物線在點,處的切線分別為,,兩條切線的交點為.
(1)證明:;
(2)若的外接圓與拋物線有四個不同的交點,求直線的斜率的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱中,,且,點M在棱上,點N是BC的中點,且滿足.
(1)證明:平面;
(2)若M為的中點,求二面角的正弦值.
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