Question

【題目】四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=2，AD=4，PA⊥底面ABCD，PD與底面ABCD成30°角，E是PD的中點(diǎn)．
（1）點(diǎn)H在AC上且EH⊥AC，求 的坐標(biāo)；
（2）求AE與平面PCD所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：以AB，AD，AP分別為x，y，z軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系．

則由條件知，A（0，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0）．

由PA⊥底面ABCD，知PD與底面ABCD成30°角．

∴PA= ，則E（0，2， ），

∴ ．

設(shè)H（m，m，0），則 ．

由EH⊥AC得，2m+2（m﹣2）+0=0，解得m=1．

∴所求

（2）解：由（1）得， ，而P（0，0， ），

∴ ， ．

記平面PCD的一個(gè)法向量為 ，則2x+2y﹣ 且4y﹣ ．

取z= ，得x=y=1，∴ ．

則cos＜ ＞= ．

設(shè)AE與平面PCD所成角為θ，則sinθ= ，

則所求的余弦值為 ．

【解析】（1）以AB，AD，AP分別為x，y，z軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系．得到所用點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出H的坐標(biāo)，結(jié)合EH⊥AC即可求得 的坐標(biāo)；（2）求出向量 的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得平面PCD的一個(gè)法向量，由 與平面法向量所成角的余弦值可得AE與平面PCD所成角的正弦值，進(jìn)一步得到余弦值．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的空間角的異面直線所成的角，需要了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則才能得出正確答案．