Question

【題目】（本小題滿分12分）

已知函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行.

(1)求的值；

(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性；

(3)求證：當(dāng)時(shí)，

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 在上是增函數(shù)；(3)證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）求出的導(dǎo)函數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件，可得的值；（2）對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，得 ，討論與作比較，則本題轉(zhuǎn)化為求的最值，由導(dǎo)數(shù)可求的最小值，得在給定的范圍內(nèi)為增函數(shù)；（3）本題可轉(zhuǎn)化為證明，由的單調(diào)性得得，利用導(dǎo)數(shù)可證明函數(shù)的單調(diào)性，得證 ，則此題得證.

(1) ，

令,得，解得.

（2）由(1)知， ， .

再令 則

當(dāng)時(shí), , 遞增;當(dāng)時(shí)， , 遞減;

∴在處取得唯一的極小值，即為最小值.

即 ∴,

∴在上是增函數(shù).

(3) 要證，即證 ，

由(1)知，當(dāng) 時(shí)， 為增函數(shù)，

故 故.

令 ，則，

∵, ∴ ∴ 即在上是減函數(shù)，

∴時(shí)， ，

所以， 即 .

所以.