Question

10．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，點（a_n，a_n+1）在函數(shù)y=3x+2圖象上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{na_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過將點（a_n，a_n+1）代入y=3x+2可知a_n+1=3a_n+2，進而變形可知a_n+1+1=3（a_n+1），利用數(shù)列{a_n+1}是首項為2、公比為3的等比數(shù)列，計算可知數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）通過（I）可知na_n=-n+2n•3^n-1，利用錯位相減法計算可知數(shù)列{n•3^n-1}的前n項和A_n=$\frac{1}{4}$+$\frac{2n-1}{4}$•3ⁿ，進而利用等差數(shù)列的求和公式計算即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵點（a_n，a_n+1）在函數(shù)y=3x+2圖象上，
∴a_n+1=3a_n+2，
變形得：a_n+1+1=3（a_n+1），
又∵a₁+1=2，
∴數(shù)列{a_n+1}是首項為2、公比為3的等比數(shù)列，
∴a_n+1=2•3^n-1，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=-1+2•3^n-1；
（Ⅱ）由（I）可知na_n=-n+2n•3^n-1，
記數(shù)列{n•3^n-1}的前n項和為A_n，
則A_n=1•3⁰+2•3¹+…+n•3^n-1，
3A_n=1•3¹+2•3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ，
兩式相減得：-2A_n=1+3¹+3²+…+3^n-1-n•3ⁿ
=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$-n•3ⁿ
=$\frac{1-2n}{2}$•3ⁿ-$\frac{1}{2}$，
∴A_n=$\frac{1}{4}$+$\frac{2n-1}{4}$•3ⁿ，
∴T_n=-（1+2+3+…+n）+2A_n
=-$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{2n-1}{2}$•3ⁿ．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，考查錯位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．