Question

5．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²，且函數(shù)f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處 的切線的一個(gè)方向向量是（2，-3）．
（1）若關(guān)于x的方程f（x）+$\frac{3}{2}$x²=3x-b在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）證明：$\sum_{k=2}^{n}$$\frac{1}{{\frac{1}{2}k}^{2}+f（k）}$＞$\frac{n-1}{2（n+1）}$（n∈N^*，且n≥2）

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，解方程可得a的值，由題意可得lnx+x²-3x=-b在[$\frac{1}{2}$，2]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即為g（x）=lnx+x²-3x和直線y=-b在[$\frac{1}{2}$，2]上有兩個(gè)交點(diǎn)，求得g（x）的導(dǎo)數(shù)，可得單調(diào)區(qū)間，即可得到所求b的范圍；
（2）可得當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．即有l(wèi)nx-$\frac{1}{2}$x²＜-$\frac{1}{2}$，即為lnx＜$\frac{1}{2}$（x²-1），即有$\frac{1}{lnx}$＞$\frac{2}{{x}^{2}-1}$=$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x+1}$，可令x=2，3，…，n，累加即可得證．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=lnx-ax²的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax，
由題意可得在點(diǎn)（2，f（2））處的切線斜率為$\frac{1}{2}$-4a=-$\frac{3}{2}$，
解得a=$\frac{1}{2}$，
即有f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²，
由題意可得lnx+x²-3x=-b在[$\frac{1}{2}$，2]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
即為g（x）=lnx+x²-3x和直線y=-b在[$\frac{1}{2}$，2]上有兩個(gè)交點(diǎn)，
由g（x）的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-3=$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$，
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減；
當(dāng)1＜x＜2時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增．
則有g(shù)（1）＜-b≤g（$\frac{1}{2}$），
即為-2＜-b≤-ln2-$\frac{5}{4}$，解得ln2+$\frac{5}{4}$≤b＜2；
（2）證明：由f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$-x=$\frac{1-{x}^{2}}{x}$，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有l(wèi)nx-$\frac{1}{2}$x²＜-$\frac{1}{2}$，即為lnx＜$\frac{1}{2}$（x²-1），
即有$\frac{1}{lnx}$＞$\frac{2}{{x}^{2}-1}$=$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x+1}$，
則有$\frac{1}{ln2}$+$\frac{1}{ln3}$+…+$\frac{1}{lnn}$＞1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$
=1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{3{n}^{2}-n-2}{2n（n+1）}$=$\frac{（3n+2）（n-1）}{2n（n+1）}$
=（3+$\frac{2}{n}$）•$\frac{n-1}{2（n+1）}$＞$\frac{n-1}{2（n+1）}$．
所以$\sum_{k=2}^{n}$$\frac{1}{{\frac{1}{2}k}^{2}+f（k）}$＞$\frac{n-1}{2（n+1）}$（n∈N^*，且n≥2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)性，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想和不等式的證明，注意運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性和累加法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．