【題目】設(shè)a∈R,函數(shù)f(x)=x|x-a|-a.
(1) 若f(x)為奇函數(shù),求a的值;
(2) 若對任意的x∈[2,3],f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍;
(3) 當(dāng)a>4時(shí),求函數(shù)y=f(f(x)+a)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【答案】(1)0(2)(3)見解析
【解析】
解:(1) 若f(x)為奇函數(shù),則f(-x)=-f(x).令x=0,得f(0)=-f(0),
即f(0)=0,所以a=0,此時(shí)f(x)=x|x|為奇函數(shù).
(2) 因?yàn)閷θ我獾?/span>x∈[2,3],f(x)≥0恒成立,所以f(x)min≥0.
當(dāng)a≤0時(shí),對任意的x∈[2,3],f(x)=x-a≥0恒成立,所以a≤0;
當(dāng)a>0時(shí),易得f(x)=在上是單調(diào)增函數(shù),在上是單調(diào)減函數(shù),在上是單調(diào)增函數(shù),
當(dāng)0<a<2時(shí),f(x)min=f(2)=2(2-a)-a≥0,解得a≤,所以a≤;
當(dāng)2≤a≤3時(shí),f(x)min=f(a)=-a≥0,解得a≤0,所以a不存在;
當(dāng)a>3時(shí),f(x)min=min=min≥0,解得a≥,
所以a≥.
綜上,得a≤或a≥.
(3) 設(shè)y=f(f(x)+a),令t=f(x)+a=x,則y=f(t)=t-a,a>4,
第一步,令f(t)=0t=a,
所以,當(dāng)t<a時(shí),t2-at+a=0,
判別式Δ=a(a-4)>0,
解得t1=,t2=;
當(dāng)t≥a時(shí),由f(t)=0,得t(t-a)=a,
解得t3=;
第二步,易得0<t1<<t2<a<t3,且a<,
① 若x=t1,其中0<t1<,
當(dāng)x<a時(shí),x2-ax+t1=0,記p(x)=x2-ax+t1,因?yàn)閷ΨQ軸x=<a,
p(a)=t1>0,且Δ1=a2-4t1>0,所以方程t2-at+t1=0有2個(gè)不同的實(shí)根;
當(dāng)x≥a時(shí),x2-ax-t1=0,記q(x)=x2-ax-t1,因?yàn)閷ΨQ軸x=<a,
q(a)=-t1<0,且Δ2=a2+4t1>0,所以方程x2-ax-t1=0有1個(gè)實(shí)根,
從而方程x=t1有3個(gè)不同的實(shí)根;
② 若x=t2,其中0<t2<,由①知,方程x=t2有3個(gè)不同的實(shí)根;
③ 若x=t3,
當(dāng)x>a時(shí),x2-ax-t3=0,記r(x)=x2-ax-t3,因?yàn)閷ΨQ軸x=<a,
r(a)=-t3<0,且Δ3=a2+4t3>0,所以方程x2-ax-t3=0有1個(gè)實(shí)根;
當(dāng)x≤a時(shí),x2-ax+t3=0,記s(x)=x2-ax-t3,因?yàn)閷ΨQ軸x=<a,
s(a)=t3>0,且Δ3=a2-4t3,a2-4t3>0a3-4a2-16<0,
記m(a)=a3-4a2-16,則m′(a)=a(3a-8)>0,
故m(a)為(4,+∞)上的增函數(shù),且m(4)=-16<0,m(5)=9>0,
所以m(a)=0有唯一解,不妨記為a0,且a0∈(4,5).
若4<a<a0,即Δ3<0,方程x2-ax+t3=0有0個(gè)實(shí)根;
若a=a0,即Δ3=0,方程x2-ax+t3=0有1個(gè)實(shí)根;
若a>a0,即Δ3>0,方程x2-ax+t3=0有2個(gè)實(shí)根.
所以,當(dāng)4<a<a0時(shí),方程x=t3有1個(gè)實(shí)根;
當(dāng)a=a0時(shí),方程x=t3有2個(gè)實(shí)根;
當(dāng)a>a0時(shí),方程x=t3有3個(gè)實(shí)根.
綜上,當(dāng)4<a<a0時(shí),函數(shù)y=f的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為7;
當(dāng)a=a0時(shí),函數(shù)y=f的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為8;
當(dāng)a>a0時(shí),函數(shù)y=f的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為9.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正整數(shù)數(shù)列滿足(p,q為常數(shù)),其中為數(shù)列的前n項(xiàng)和.
(1)若,,求證:是等差數(shù)列;
(2)若數(shù)列為等差數(shù)列,求p的值;
(3)證明:的充要條件是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大學(xué)為了解學(xué)生對學(xué)校食堂服務(wù)的滿意度,隨機(jī)調(diào)查了50名男生和50名女生,每位學(xué)生對食堂的服務(wù)給出滿意或不滿意的評價(jià),得到如圖所示的列聯(lián)表.經(jīng)計(jì)算的觀測值,則可以推斷出( )
滿意 | 不滿意 | |
男 | 30 | 20 |
女 | 40 | 10 |
0.100 | 0.050 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 |
A.該學(xué)校男生對食堂服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為
B.調(diào)研結(jié)果顯示,該學(xué)校男生比女生對食堂服務(wù)更滿意
C.有95%的把握認(rèn)為男、女生對該食堂服務(wù)的評價(jià)有差異
D.有99%的把握認(rèn)為男、女生對該食堂服務(wù)的評價(jià)有差異
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率e滿足,右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,點(diǎn)C(0,-2),過點(diǎn)C作一條與y軸不重合的直線l,直線l交橢圓E于P,Q兩點(diǎn),直線BP,BQ分別交x軸于點(diǎn)M,N;當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),l的斜率為.
(1)求橢圓E的方程;
(2)證明:為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,,,O為AC的中點(diǎn).
(1)證明:平面ABC;
(2)若點(diǎn)M在棱BC上,且,求點(diǎn)C到平面POM的距離.
(3)若點(diǎn)M在棱BC上,且二面角為30°,求PC與平面PAM所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( 。
A.若,則的逆命題是真命題
B.若,則的逆否命題為假命題
C.的否定是
D.若且為假命題,則和均為假命題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為迎接2022年北京冬季奧運(yùn)會,普及冬奧知識,某校開展了“冰雪答題王”冬奧知識競賽活動.現(xiàn)從參加冬奧知識競賽活動的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生,將他們的比賽成績(滿分為100分)分為6組:,,,,,,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求的值;
(2)估計(jì)這100名學(xué)生的平均成績(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);
(3)在抽取的100名學(xué)生中,規(guī)定:比賽成績不低于80分為“優(yōu)秀”,比賽成績低于80分為“非優(yōu)秀”.請將下面的2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“比賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”?
優(yōu)秀 | 非優(yōu)秀 | 合計(jì) | |
男生 | 40 | ||
女生 | 50 | ||
合計(jì) | 100 |
參考公式及數(shù)據(jù):
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是( ).
①在中,若,則是等腰三角形;
②在中,若 ,則
③兩個(gè)向量,共線的充要條件是存在實(shí)數(shù),使
④等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù).
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),證明:在區(qū)間上是增函數(shù);
(2)當(dāng),函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并說明理由;
(3)求函數(shù)的對稱中心,并說明理由.
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