Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，證明：在區(qū)間上是增函數(shù)；

（2）當(dāng)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；

（3）求函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2），理由見(jiàn)解析；（3）.

【解析】

（1）化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，根據(jù)單調(diào)性的定義可證明出函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；

（2）判斷函數(shù)在各區(qū)間的單調(diào)性，從而得出結(jié)論；

（3）將函數(shù)進(jìn)行平移變換構(gòu)造一個(gè)奇函數(shù)即可得出對(duì)稱(chēng)中心.

（1）當(dāng)時(shí)，，

任取、且，即，

，

，，，，，.

，，則，即，

因此，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；

（2）當(dāng)時(shí)，，

顯然當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，其中、、、、，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以，函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

又當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

所以，函數(shù)在和上沒(méi)有零點(diǎn)，

因此，函數(shù)共有個(gè)零點(diǎn)；

（3），

構(gòu)造函數(shù)，

可知，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

，

所以，函數(shù)為奇函數(shù)，其對(duì)稱(chēng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，

且有，

為了得到函數(shù)的圖象，可將函數(shù)的圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可.

因此，函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)為.