Question

設(shè)曲線C的方程是y，將C沿x軸、y軸正向分別平行移動(dòng)t、s單位長(zhǎng)度后得曲線C₁；（1）寫(xiě)出曲線C₁的方程；（2）證明曲線C與C₁關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；（3）如果曲線C與C₁有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，證明 且 ．

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)C1的方程是y． (2) 證明：在曲線C上任取一點(diǎn)B1（x1，y1）.設(shè)B2（x2，y2）是B1關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，則有 ，    . 所以  x1=t－x2，    y1=s－y2. 代入曲線C的方程，得x2和y2滿足方程：s－y2=（t－x2）3－（t－x2）， 即        y2=（x2－t）3－（x2－t）+ s， 可知點(diǎn)B2（x2，y2）在曲線C1上. 反過(guò)來(lái)，同樣可以證明，在曲線C1上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)在曲線C上. 因此，曲線C與C1關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱.  (3) 解法一： 由于曲線C和C1關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且C和有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，因此，這個(gè)公共點(diǎn)就是這個(gè)對(duì)稱中心A，即點(diǎn)A在曲線C上（也在曲線C1上），故點(diǎn)A坐標(biāo)滿足曲線C（或C1）的方程：         整理，得 若t＝0，則s＝0，C與C1重合，與題設(shè)C1由C平移所得相矛盾，故  t ≠0． 解法二： 方程組有且僅有一組解消去y，整理得這個(gè)關(guān)于t的一元二次方程有且僅有一個(gè)根，因此0，且判別式．由此可得且．

提示：