Question

8．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；         
（2）求證：$\sum_{k=1}^n{\frac{1}{S_k}}＜\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)解方程組$\left\{\begin{array}{l}{4{a}_{1}+6d=8{a}_{1}+4d}\\{{a}_{1}+（2n-1）d=2{a}_{1}+2（n-1）d+1}\end{array}\right.$，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）可知S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，通過(guò)放縮、裂項(xiàng)可知$\frac{1}{{S}_{n}}$＜2（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 （1）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，
由S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1得：
$\left\{\begin{array}{l}{4{a}_{1}+6d=8{a}_{1}+4d}\\{{a}_{1}+（2n-1）d=2{a}_{1}+2（n-1）d+1}\end{array}\right.$，
解得：a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1，n∈N^*；
（2）證明：由（1）可知：S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，
∵$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{{n}^{2}-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{4{n}^{2}-1}$=2（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{1}{{S}_{k}}$＜1+2（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
＜1+$\frac{2}{3}$
=$\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．