【題目】三棱柱中，為的中點，點在側(cè)棱上，平面.

（1）證明：是的中點；

（2）設，四邊形為正方形，四邊形為矩形，且異面直線與所成的角為30°，求兩面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）二面角的余弦值為.

【解析】

（1）取的中點，利用中位線得出利用線面平行的判定，得出平面，利用面面平行的判定得出平面平面進而得出而為的中點，所以為的中點。

（2）建立直角坐標系，設，，利用異面直線與所成的角為30°,求出進而求出二面角的余弦值。

（1）證明：取的中點，連、，因為為中點，所以.

平面，平面，平面.

又由已知平面，

且，所以平面平面.

又平面，所平面.

而平面，且平面平面，所以，而為的中點，所以為的中點.

（2）由題設知：、、兩兩垂直，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系.

設，，則，，，，，

所以，.因為異面直線與所成的角為30°，

所以 ，解得：，于是.

設平面的法向量為，因為，

所以，取，則，所以.

又是平面的一個法向量，所以，

即二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表：

身高x（cm）

60

70

80

90

100

110

120

130

140

體重y(kg)

6.13

7.90

9.99

12.15

15.02

17.50

20.92

26.86

31.11

已知與之間存在很強的線性相關(guān)性，

（Ⅰ）據(jù)此建立與之間的回歸方程；

（Ⅱ）若體重超過相同身高男性體重平均值的倍為偏胖，低于倍為偏瘦，那么這個地區(qū)一名身高體重為 的在校男生的體重是否正常？

參考數(shù)據(jù)：

附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線 中的斜率和截距的最小二乘估計分別為

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，為內(nèi)一點，若分別滿足下列四個條件：

①；

②；

③；

④；

則點分別為的（ ）

A.外心、內(nèi)心、垂心、重心B.內(nèi)心、外心、垂心、重心

C.垂心、內(nèi)心、重心、外心D.內(nèi)心、垂心、外心、重心

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知曲線C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，則下面結(jié)論正確的是( )

A. 把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2

B. 把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2

C. 把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2

D. 把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，兩鐵路線垂直相交于站，若已知千米，甲火車從站出發(fā)，沿方向以千米小時的速度行駛，同時乙火車從站出發(fā)，沿方向，以千米小時的速度行駛，至站即停止前行（甲車扔繼續(xù)行駛）（兩車的車長忽略不計）.

（1）求甲、乙兩車的最近距離（用含的式子表示）；

（2）若甲、乙兩車開始行駛到甲，乙兩車相距最近時所用時間為小時，問為何值時最大？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設{an}是公比為 q的等比數(shù)列，且a1，a3，a2成等差數(shù)列．

（Ⅰ）求q的值；

（Ⅱ）設{bn}是以2為首項，q為公差的等差數(shù)列，其前n項和為Sn，當n≥2時，比較Sn與bn的大小，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在三棱錐中，是正三角形，面面，，，、分別是、的中點．

（1）證明：；

（2）求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】過點作一直線與雙曲線相交于、兩點，若為中點，則( )

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著移動互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，與餐飲美食相關(guān)的手機APP軟件層出不窮.現(xiàn)從某市使用A和B兩款訂餐軟件的商家中分別隨機抽取100個商家，對它們的“平均送達時間”進行統(tǒng)計，得到頻率分布直方圖如下.

（1）已知抽取的100個使用A款訂餐軟件的商家中，甲商家的“平均送達時間”為18分鐘�，F(xiàn)從使用A款訂餐軟件的商家中“平均送達時間”不超過20分鐘的商家中隨機抽取3個商家進行市場調(diào)研，求甲商家被抽到的概率；

（2）試估計該市使用A款訂餐軟件的商家的“平均送達時間”的眾數(shù)及平均數(shù)；

（3）如果以“平均送達時間”的平均數(shù)作為決策依據(jù)，從A和B兩款訂餐軟件中選擇一款訂餐，你會選擇哪款？

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