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選修4-4：坐標系與參數方程
已知曲線C的極坐標方程是ρ=2，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角 坐標系，直線l的參數方程為
x=2-
1
2
t
y=1+
3
2
t
（t為參數）．
（I）寫出直線l與曲線C的直角坐標系下的方程；
（II）設曲線C經過伸縮變換
x′=x
y′=2y
得到曲線C'設曲線C'上任一點為M（x，y），求
3
x+
1
2
y的取值范圍．
分析：（I）利用ρ2=x2+y2，將ρ=1轉化成直角坐標方程，然后將直線的參數方程的上式化簡成t=2（x-1）代入下式消去參數t即可；
（II）根據伸縮變換公式求出變換后的曲線方程，然后利用參數方程表示出曲線上任意一點，代入
3
x+
1
2
y，根據三角函數的輔助角公式求出其范圍即可．
解答：解：（Ⅰ）直線l的普通方程
3
x+y-2
3
-1=0
曲線C的直角坐標方程x2+y2=4；…（4分）
（Ⅱ）曲線C經過伸縮變換
x′=x
y′=2y
得到曲線C'的方程為x2+
y2
4
=4，
則點M參數方程為
x=2cosθ
y=4sinθ
，代入
3
x+
1
2
y得，
3
x+
1
2
y=
3
•2cosθ+
1
2
×4sinθ=2sinθ+2
3
cosθ=4sin（θ+
π
3
）∈[-4，4]
∴
3
x+
1
2
y的取值范圍是[-4，4]…（10分）
點評：本題主要考查了圓的極坐標方程與直線的參數方程轉化成直角坐標方程，以及利用橢圓的參數方程求最值問題，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

[選修4-4：坐標系與參數方程]
在直角坐標系xoy中，直線l的參數方程為
x=
1
2
t
y=
2
2
+
3
2
t
（t為參數），若以直角坐標系xoy 的O點為極點，Ox為極軸，且長度單位相同，建立極坐標系，得曲線C的極坐標方程為ρ=2cos（θ-
π
4
）．直線l與曲線C交于A，B兩點，求|AB|．

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科目：高中數學 來源： 題型：

A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線相交于點E，∠BAC的平分線與BC
交于點D．求證：ED2=EB•EC．
B．選修4-2：矩陣與變換
求矩陣M=
-14
26
的特征值和特征向量．
C．選修4-4：坐標系與參數方程
在以O為極點的極坐標系中，直線l與曲線C的極坐標方程分別是ρcos(θ+
π
4
)=
3
2
2
和ρsin2θ=4cosθ，直線l與曲線C交于點．A，B，C，求線段AB的長．
D．選修4-5：不等式選講
對于實數x，y，若|x-1|≤1，|y-2|≤1，求|x-y+1|的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•遼寧）選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系xoy中以O為極點，x軸正半軸為極軸建立坐標系．圓C1，直線C2的極坐標方程分別為ρ=4sinθ，ρcos（θ-
π
4
）=2
2
．
（Ⅰ）求C1與C2交點的極坐標；
（Ⅱ）設P為C1的圓心，Q為C1與C2交點連線的中點，已知直線PQ的參數方程為
x=t3+a
y=
b
2
t3+1
（t∈R為參數），求a，b的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

選修4-4：
坐標系與參數方程在平面直角坐標系x0y中，曲線C1為x=acosφ，y=sinφ（1＜a＜6，φ為參數）．
在以0為原點，x軸正半軸為極軸的極坐標中，曲線C2的方程為ρ=6cosθ，射線ι為θ=α，ι與C1的交點為A，ι與C2除極點外的一個交點為B．當α=0時，|AB|=4．
（1）求C1，C2的直角坐標方程；
（2）若過點P（1，0）且斜率為
3
的直線m與曲線C1交于D、E兩點，求|PD|與|PE|差的絕對值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•晉中三模）選修4-4：坐標系與參數方程選講
在直角坐標系xoy中，曲線c1的參數方程為：
x=2cosθ
y=2sinθ
（θ為參數），把曲線c1上所有點的縱坐標壓縮為原來的一半得到曲線c2，以O為極點，x正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為
2
ρcos(θ-
π
4
)=4．
（1）求曲線c2的普通方程，并指明曲線類型；
（2）過（1，0）點與l垂直的直線l1與曲線c2相交與A、B兩點，求弦AB的長．

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