Question

20．若存在正實數(shù)m，使得關(guān)于x的方程x+a（2x+2m-4ex）[1n（x+m）-lnx]=0有兩個不同的根，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，0）
• B． （0，$\frac{1}{2e}$）
• C． （-∞，0）∪（$\frac{1}{2e}$，+∞）
• D． （$\frac{1}{2e}$，+∞）

Answer 1

分析 由題意得-$\frac{1}{2a}$=（1+$\frac{m}{x}$-2e）ln（1+$\frac{m}{x}$）=（t-2e）lnt，（t=$\frac{m}{x}$+1＞1），令f（t）=（t-2e）lnt，（t＞0），利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由題意得-$\frac{1}{2a}$=（1+$\frac{m}{x}$-2e）ln（1+$\frac{m}{x}$）=（t-2e）lnt，（t=$\frac{m}{x}$+1＞1），
令f（t）=（t-2e）lnt，（t＞0），
則f′（t）=lnt+1-$\frac{2e}{t}$，f''（t）=$\frac{1}{t}$+$\frac{2e}{{t}^{2}}$＞0，
當(dāng)x＞e時，f′（t）＞f′（e）=0，
當(dāng)0＜x＜e時，f′（t）＜f′（e）=0，
∴f（t）≥f（e）=-e，
∴-$\frac{1}{2a}$＞-e，
解得a＜0或a＞$\frac{1}{2e}$，
故選：C．

點評 本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、構(gòu)造法的合理運用．