【題目】已知,,是橢圓:上的三點(diǎn),其中的坐標(biāo)為,過(guò)橢圓的中心,且橢圓長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)直線(xiàn)的斜率為1時(shí),求面積;
(3)設(shè)直線(xiàn):與橢圓交于兩點(diǎn),,且線(xiàn)段的中垂線(xiàn)過(guò)橢圓與軸負(fù)半軸的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)的值.
【答案】(1);(2)6;(3).
【解析】
(1)由題意可得,再由正三角形的條件可得,解得,進(jìn)而得到橢圓方程;
(2)由題意寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo),直線(xiàn)方程,聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程可求得交點(diǎn)、的縱坐標(biāo),,代入數(shù)值即可求得面積;(3)聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程消掉得的二次方程,設(shè),,,,線(xiàn)段的中點(diǎn),,由韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可用表示出中點(diǎn)坐標(biāo),由垂直可得,解出即得值,注意檢驗(yàn)△.
(1)的坐標(biāo)為,,即有,
橢圓長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形,
可得,解得,
則橢圓的方程為;
(2)直線(xiàn)的方程為,
代入橢圓方程,得,
;
(3)由得,△,
依題意,,設(shè),,,,線(xiàn)段的中點(diǎn),,
則,,,,,
由,得,解得.
所以實(shí)數(shù)的值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知四棱錐中,底面為矩形,平面平面,,點(diǎn),分別是,的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)若與平面所成角的余弦值等于,求的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】班主任為了對(duì)本班學(xué)生的考試成績(jī)進(jìn)行分析,決定從本班24名女同學(xué),18名男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為7的樣本進(jìn)行分析.
(1)如果按照性別比例分層抽樣,可以得到多少個(gè)不同的樣本?(寫(xiě)出算式即可,不必計(jì)算出結(jié)果)
(2)如果隨機(jī)抽取的7名同學(xué)的數(shù)學(xué),物理成績(jī)(單位:分)對(duì)應(yīng)如下表:
學(xué)生序號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
數(shù)學(xué)成績(jī) | 60 | 65 | 70 | 75 | 85 | 87 | 90 |
物理成績(jī) | 70 | 77 | 80 | 85 | 90 | 86 | 93 |
①若規(guī)定85分以上(包括85分)為優(yōu)秀,從這7名同學(xué)中抽取3名同學(xué),記3名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績(jī)均為優(yōu)秀的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
②根據(jù)上表數(shù)據(jù),求物理成績(jī)關(guān)于數(shù)學(xué)成績(jī)的線(xiàn)性回歸方程(系數(shù)精確到0.01);若班上某位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?6分,預(yù)測(cè)該同學(xué)的物理成績(jī)?yōu)槎嗌俜郑?/span>
附:線(xiàn)性回歸方程,
其中,.
76 | 83 | 812 | 526 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義符號(hào)函數(shù),已知,.
(1)求關(guān)于的表達(dá)式,并求的最小值.
(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)在上有唯一零點(diǎn),求的取值范圍.
(3)已知存在,使得對(duì)任意的恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三棱錐中,,,.
(1)求證:;
(2)若二面角的大小為且時(shí),求的中線(xiàn)與面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),為實(shí)數(shù).
(1)討論在上的奇偶性;(只要寫(xiě)出結(jié)論,不需要證明)
(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
附:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓方程為.
(1)設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、,點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng),求的值;
(2)設(shè)直線(xiàn)和圓相切,和橢圓交于、兩點(diǎn),為原點(diǎn),線(xiàn)段、分別和圓交于、兩點(diǎn),設(shè)、的面積分別為、,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,側(cè)面是等邊三角形,且平面平面、E為的中點(diǎn),,,,.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值.
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