9.設(shè)定義在區(qū)間(-b,b)上的函數(shù)f(x)=lg$\frac{1+ax}{1-ax}$是奇函數(shù)(a,b∈R且a≠-2),則ab的取值范圍是(1,$\sqrt{2}$].

分析 由題意和奇函數(shù)的定義f(-x)=-f(x)求出a的值,再由對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零求出函數(shù)的定義域,則所給的區(qū)間應(yīng)是定義域的子集,求出b的范圍進(jìn)而求出ab的范圍.

解答 解:∵定義在區(qū)間(-b,b)內(nèi)的函數(shù)f(x)=lg$\frac{1+2x}{1-ax}$是奇函數(shù),
∴x∈(-b,b),f(-x)=-f(x),即lg$\frac{1-2x}{1+ax}$=-lg$\frac{1+2x}{1-ax}$,
∴1-a2x2=1-4x2,解得a=±2,
又∵a≠-2,∴a=2;則函數(shù)f(x)=lg$\frac{1+2x}{1-2x}$,
要使函數(shù)有意義,則$\frac{1+2x}{1-2x}$>0,即(1+2x)(1-2x)>0
解得:-$\frac{1}{2}$<x<$\frac{1}{2}$,即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋海?$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$),
∴(-b,b)⊆(-$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$),∴0<b≤$\frac{1}{2}$
∴ab的取值范圍是(1,$\sqrt{2}$].
故答案為:(1,$\sqrt{2}$].

點(diǎn)評(píng) 本題考查了奇函數(shù)的定義以及求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域,利用子集關(guān)系求出b的范圍,考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和對(duì)定義的運(yùn)用能力.

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